REPREZENTAREA
SISTEMELOR
CU AJUTORUL ECUAŢIILOR DE
STARE
Un sistem liniar, invariant în timp, poate fi reprezentat
cu ajutorul unui set de ecuaţii diferenţiale de ordinul I
În spaţiul stărilor, aceste ecuaţii pot fi scrise după cum urmează:
unde
- u este vectorul mărimilor de intrare
- x este vectorul variabilelor de stare
- y este vectorul variabilelor de ieşire.
Exemplu
Pentru un sistem de întârziere de ordinul II,
cu polii caracterizaţi de pulsaţia naturală ωn = 1.5
şi factorul de amortizare este ξ = 0.2 ,
ecuaţiile de stare corespunzatoare sistemului
pot fi reprezentate în MATLAB astfel:
wn= 1.5;
z=0.2;
a=[0 1; -wn^2 –2*z*wn];
b=[0;wn^2];
c=[1 0];
d=0;
Consideram un model al unui sistem liniar de ordin n
descris de urmatoarea ecuaţie diferenţială:
Un model de stare pentru acest sistem nu este unic,
fiind dependent de alegerea unui set de variabile de stare.
O modalitate de alegere a unui set de
variabile de stare, este urmatoarea:
vom rezolva pentru
şi vom înlocui y şi derivatele sale
prin variabilele de stare corespunzătoare, rezultând:
sau, în formă matriceală
ecuaţia ieşirii fiind
Exemplul 1
Pentru sistemul descris de
vom obţine
În descriere Matlab :
>> ai=[2 4 6 8];
>> k=10;
>> [A,B,C]=ode2phv(ai,k)
A = [0 1 0; 0 0 1; -4 -3 -2]
B = [0; 0; 5]
C = [1 0 0]
Exemplul 2.
În cazul sistemelor electrice,
variabilele de stare
vor fi legate de elementele ce înmagazinează energie.
Ecuaţiile de funcţionare ale sistemului sunt:
Aceste ecuaţii pot fi scrise sub forma intrare-stare-ieşire,
după cum urmează:
Exemplul 3
Conversia sistemului dat sub forma funcţiei de transfer
în reprezentare în spaţiul stărilor.
Fie sistemul cu funcţia de transfer :
>> num=[1 7 2];
>> den=[1 9 26 24];
>> [A, B, C, D]=tf2ss(num, den)
A =
-9 -26 -24
1 0 0
0 1 0
B =
1
0
0
C =
1 7 2
D =
0
Exemplul 4
Conversia spaţiul stărilor – funcţia de transfer
Fie sistemul descris de ecuaţiile de stare:
>> A=[0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3];
>> B=[10; 0; 0];
>> C=[1 0 0];
>> D=[0];
>> [n,m]=ss2tf(A,B,C,D,1)
n =
0 10.0000 30.0000 20.0000
m =
1.0000 3.0000 2.0000 1.0000
>> printsys(n,m)
num/den =
10 s^2 + 30 s + 20
---------------------
s^3 + 3 s^2 + 2 s + 1
De asemenea,
[z,p]=ss2tf(A,B,C,D,1) poate converti ecuaţia de stare
în funcţia de transfer sub forma factorizată
(cu punerea în evidenţă a polilor şi zerourilor funcţiei de transfer)
>> [z,p]=ss2zp(A,B,C,D,1)
z =
-2.0000
-1.0000
p =
-2.3247
-0.3376 + 0.5623i
-0.3376 - 0.5623i